Matematik Öğretimini Zorlaştırıyor Muyuz?

  Bazen şu tip sorularla karşılaşıyoruz: Tavşan ve tavukların sayısı 92, ayaklarının sayısı 200. Kaç tavuk, kaç tavşan vardır?
  Burada kazanımlara ek olarak üç basamaklı sayıları kavrama, üç bas. sayıları zihinde canlandırma, büyük sayılarla problem çözme kazanımları da var.
  Bunun yerine hayvan sayısı 5, ayak sayısı 14 olsa öğrenciler bununla ilgili çözümü geliştirdikten sonra büyük sayılarla çözümü yaptırsak daha iyi olmaz mı?Bu soruda çizim de yapabilirler. 5 tane hayvan için 5 tane yuvarlak, ayakları için de çizgi yapıp kendi çözüm yollarını üretebilirler.

 Aslında düşünecek olursak matematiğin bir merdiven gibi basamak basamak devam ettiği sürece öğrencinin zevkle devam edebileceği, kendi çözüm yollarını bulabileceği, kolaydan zora gidildikçe bir sistem oluşturduğu görülmez mi?

  Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği:
  Öğrencilerin bunu daha iyi kavraması için onlara şekil çizdirerek yaptırabiliriz.
  4 tane (3+2)
  Bunu şekil çizdirerek verebiliriz:
  Biri 3 elemanlı, diğeri 2 elemanlı iki küme yan yana yaptıralım.Daha sonra çizilen bu şekilden 3 tane daha yaptıralım.
 4 tane (3+2) olduğunu önce 3+2 'yi ifade ettirerek başlayalım.
 3+2'yi   3 artı 2 olarak ifade eden öğrenciye bundan kaç tane olduğu sorulur.
 4 tane 3 artı 2 olarak söyleyen öğrenciye 3+2 yazdırılır ve bunun paranteze alması sağlanır. 4 tane 3+2 işlemi toplama yoluyla uzun yoldan yaptırılır.
 Daha sonra bunun içinde 4 tane 3 ve 4 tane 2 olduğu öğrenciye söyletilir.
 Parantezin ne işe yaradığı parantezsiz işlem yaparak:  4 tane 3    +2
  yani 8+2 işlemin yanlış çıktığı, şeklin anlamını ifade etmediği söylettirilir.
  4x3+2   ve 4x2+3 işlemlerinde parantezin şekli ifade etmede ne işe yaradığı, parantez olmadığı zaman işlemin yanlış çıktığı söylettirilir.
  2 tane (4+3) işlemini
 4 elma ve 3 elmadan oluşan iki küme ve bunlardan 2'şer  tane yaparak çizdirelim.
 2 tane (4+3) işlemi yapılırken 2 tane 4 ve 2 tane 3 olduğu öğrenci tarafından görünecektir.

  Şimdi de elma yerine 4 elemanlı kümenin elemanlarını kare ile ifade ederek gösterelim.Öğrenci şekille küçük kare çizecek ve kare+3'ten 2 tane diyecektir.

 Artık harfli ifadelere geçebiliriz.
 4 elemanlı kümenin içine 4 tane a yazalım. Diğer kümedeki elemanlar bilinen yapabilecekleri bir şekil olsun.
  a+3 toplama işlemini ifade ettirelim.
 a+3'ten 2 tane olduğunu ifade ettirelim.
 a+3 ifadesinin niçin parantez içine alınması gerektiğini ifade ettirelim.
  İşlemi yaptıralım.

Arkadaşlar basit denklemleri içeren soruları bizler de öğrencilerimize çözdürüyoruz aslında. Gelin bunları görsellerle yaparak daha kalıcı hale getirelim.
  Bir sayının 2 fazlasının 3 katı 18'dir. Bu sayı kaçtır?
  Soruyu hazırladık. Şimdi soru yerine cevabı öğrenciye verelim.
  3 katı 18 eden 6, 2 fazlası 6 eden ise 4.

  4 kare alsın öğrencimiz ya da 4 tane bilye, bunun yanına da 2 fazlası için 2 tane. Bu şekilden de 3 katı olduğu için 3 tane çizecek.

 Şekil tamamlanınca 4 yerine a yazmasını ve bundan soru hazırlamasını isteyelim. a'nın 2 fazlasının 3 katı 18'dir. a kaçtır? ya da    a yerine bir sayı denilirse , bir sayının 2 fazlasının 3 katı 18'dir. Bu sayı kaçtır?

  Buna benzer şekillerle basit bir bilinmeyenli denklemler oluşturabiliriz. Öğrenci önce soruyu kurarsa daha kalıcı olacak, soruyu çözemediğinde uğradığı yenilmişlik duygusu olmayacaktır.

  Matematik dersinde başarılı olan, matematik zekası olan öğrencilere aşağıdaki alıştırmayı yaptırabilirsiniz.
  Bir kenarı 8 birim olan  bir kare çizdirelim.
  Bu karenin alanı 8x8=64 birim karedir.
  Sonra bu karenin köşesine bir kenarı 3 birim olan bir kare çizdirelim.
  İçinde bir tane bir kenarı 5 birim olan kare, bir tane bir kenarı 3 birim olan bir kare ve iki tane kenarları 3 ve 5 birim olan iki tane dikdörtgen oluşacaktır.
 8x8=3x3+5x5+2x3x5
  Yani bunu şu hale getirirsek,
  8x8=(3x3)+2x(8-3)x3+(8-3)x(8-3)

  Buradan harfli ifadeler verilerek
  a'nın karesi=b'nin karesi+ 2tane(a-b)+b'nin karesi
 eşitliği kavratılabilir.

 doğanemin öğretmenim, kolaydan zora,  basitten karmaşığa, somuttan soyuta gibi temel ilkeleri ihmal edip zaman zaman işimizi zorlaştırıyoruz.  Sizi özgün bakış açınızla buraya davet ediyorum.

Çarpmayı verirken şekil kullandıracağım. Önce 1 tane 6'nın şekli
 1 tane 6, 6 eder.
  Sonra 2 tane 6 şekli ve 2 tane 6, 12 eder.
  Burada 12'nin içinde 2 tane 6 olduğunu katlayarak göstereceğim.
  Ayrıca katlayarak ya da dikdörtgeni yan çevirerek 6 tane 2 olduğunu da göstereceğim.Böylece bölme işlemi de verilmiş, bölmenin çarpmanın tersi olduğu da gösterilmiş olur.
  3 tane 6 buldurulurken 2 tane 6 ve 1 tane 6 toplatılır .
  3 tane 6'nın 18 olduğu öğrenciye buldurulur.
  Sonra 1 tane 6 çıkarılır.Çıkan ve farkın 1 tane 6 ile 2 tane 6 olduğu gösterilir.
 Sonra 3'e 6 dikdörtgen üzerinde 18'in içinde 3 tane 6 olduğu sonra dikdörtgen çevrilerek 6 tane 3 olduğu gösterilir.
  
  4 tane 6 verilirken 3 tane 6'yı çizdirelim ve 3 tane 6'nın 18 olduğunu hatırlatalım.
  3 tane 6 şeklinin yanına 1 tane 6 şeklini çizdirelim.
  3 tane 6, bir tane 6 daha 4 tane 6 eder. (Burada çocuk 1 tane6, 2 tane 6, diye kendisi saysın.)
 4 tane 6 18+6=24 eder.
  Daha sonra 4 tane 6'dan 1 tane 6'yı çıkartalım. Çıkan ve farkın 3tane 6 ile 1 tane 6'dan yani 18 ve 6'dan oluştuğunu görsün.
  Daha sonra 4'e 6 dikdörtgen çizdirelim ve 24'ün içinde 4 tane 6 ya da 6 tane 4 olduğunu gösterelim.
  Ayrıca burada 3 tane 8 ya da 8 tane 3 olduğunu da gösterebiliriz.

  Bunları öğretirken toplama,çıkarma, çarpma ve bölmeyi de yaptırıyoruz.
 

   Öğrencilerimiz ileride üslü ve köklü sayıları öğrenecekler. Bir sayının karesini şekille bulmayı anlatayım sizlere.
  Kareli kağıtta 2'ye 2 kare çizdirelim. Bunların içinde 4 tane kare olduğu görülecektir. Daha sonra bunun dışına birleşik olacak şekilde 3'e 3 kare çizdirelim. 2tane 2'ye 1 tane 3, 1 tane de 2 eklediğimizde 3 tane 3'ü bulduğumuzu öğrenci gözle görecektir.
  3 tane 3=2tane 2+ 1 tane 3+ 1 tane 2
  3x3=4+3+2=9
 
  Kareyi 4'e 4 olacak şekilde genişletelim.İçindeki kareye bakarak öğrenci 3 tane 3'e 1 tane 4 ve 1 tane 3 ekleyerek 4'ün karesini bulmayı öğrenecektir.
  4 tane 4= 3 tane 3+ 1 tane 4+ 1tane 3
  4x4=9+4+3=16

  10' a 10 bir kare çizdirelim. Bunun içinde 100 küçük kare vardır. Bundan yararlanarak 9 tane 9'u nasıl bulacağımızı şekille gösterelim:
  Çizdiğimiz 10 'a 10 karenin içine dışarıda 1 tane 10 kare, 1 tane 9 kare olacak şekilde 9'a 9 kere çizelim.
  10 tane 10'dan 1 tane 10 ve 1 tane 9 çıkarıldığında 9 tane 9'un kaldığı görülecektir.
   9 tane 9= 10 tane 10 - 1 tane 10- 1 tane 9
   9x9=100-10-9=81


  11'in karesi yani 11 tane 11 kaçtır?
  11x11=10 tane 10+ 1 tane 11+ 1 tane 10
  11x11=100+11+10=121


  12'nin karesi yani 12 tane 12 kaçtır?
  12 tane 12=11 tane 11+ 1tane 12+ 1 tane 11
  12x12=121+12+11=144
  

  Öğrenci bu yolla deneyerek, çarparak da yapacağı için bunları kısa sürede ezberleyecektir. 13, 14,15,16,17,18'in karesini öğrenci bu yolla bulsun.
 
 19 tane 19, yani 19'un karesi kaçtır.?
  20'nin karesinden 1 tane 20, 1 tane de 19 çıkaracağız.
  19 tane 19=20 tane 20-1 tane 20- 1 tane 19
  19x19=400-20-19=380-19=361
 

Başlığın diğer anlamları için Fermat'nın Son Teoremi sayfasına bakınız.
 
Fermat'ın özellikle "Son Teoremi" (Observatio Domini Petri de Fermat) üzerine yorumunu içeren Diophantus'un Arithmetica eserinin 1670 baskısı.Fransız matematikçi Pierre de Fermat'nın 17. yüzyılda öne sürdüğü fakat kanıtı ancak 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından verilen teoremdir.

İfadesinin ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalın olmasına karşılık öne sürülmesiyle kanıtlanması arasında geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafından üzerinde uğraşılıp da kanıtlanamamış olmasıyla matematik tarihinde öne çıkmıştır.

Kısaca, eğer n ikiden büyük bir tamsayıysa, ve x, y, z sayıları pozitif tamsayılar ise

x^n+y^n = z^n; x, y, z, n doğal sayı ve n > 2

ifadesinin sağlanamayacağını ifade eder. İfadenin n=1 ve n=2 durumlarında kolayca sağlanabileceğini görmek zor değildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlü Pisagor Teoremi ile yakından ilişkili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tamsayı üçlüleriyle kolayca sağlanır.

Bu sanının (artık teorem demek gerekiyor elbette) kanıtı için pek çok matematikçi uğraşmış ancak başarısız olmuşlardır. Ancak yakın tarihlere kadar çok büyük n değerleri için bu sanının doğrulanmasına devam edilmiştir. Bu tür kısmi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir zamanda İngiliz matematikçi Andrew Wiles'ın bir kanıt bulduğunu duyurmasıyla son bulmuştur. Ne var ki kısa sürede Andrew Wiles'ın kanıtında bir hata bulunmuş ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir çabanın sonunda 1994 yılında uzmanlarca doğruluğu kabul gören bir kanıt vermeyi başarmıştır. Aslında Wiles'ın kanıtı Fermat'nın son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Şimura-Taniyama Konjektürü'nün de doğruluğunu göstermiştir. Söz konusu kanıt Sayılar Teorisi'nin çok gelişkin tekniklerini kullanır.
  Kaynak:vikipedi

  Bu teoremin ispatı yaklaşık 350 yıl sürmüştür. Sanırım çözüm de 35-40 sayfa tutmuştur. Ancak ben bu teoremin geometri yoluyla çok daha kısa ve anlaşılır bir çözüm yolu olduğunu düşünüyorum.

  Bu linke bakarsanız çalışmaya başlamadan önce yararınıza olabilir.

[linkler sadece üyelerimize görünmektedir.]

şöyle bi okudum da baya bi zorlaşmış gibi geldi :D

hemde çok zorlaştırıyoruz hem konular sınıflara göre çok ağır hem çok fazla halbuki temen bir kaç şeyi sağlam öğrenseler çocuklar zaten üstüne eklerler fakat bizim sistemimizde sadece yüklüyoruz çocuklar da doğal olarak korkuyor ve başarısız oluyorlar

  Bir sayının karesini bulmayı kolaylaştıran etkinliği bir arkadaş sormuştu. İzninizle bu mesajı yazıyorum.