9. Sınıf Matematik Dersi

  A={a,b,c,d,1,2,3,4} ise,
  A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en çok  3 rakam bulunur?

  A={a,b,c,d,e,f} ise
  A kümesinin alt kümelerinin kaçında a,b,c elemanlarından en çok ikisi bulunur?

   A={a,b,c,d,1,2,3,4} ise,
  A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en çok  3 rakam bulunur?

''en çok 3 rakam bulunanlar'' dediği için 4 rakam bulunan alt kümeler alınmayacaktır.

 O halde içinde (1,2,3,4) elemanlarının aynı anda bulunduğu alt kümeler dışındaki tüm kümeleri almalıyız.
  İçinde (1,2,3,4) elemanlarının bulunduğu alt kümeleri bulalım.

  (1,2,3,4) elemanlarını bir eleman gibi düşünelim ve diğer elemanları da katarak kümeler oluşturalım:

 {1,2,3,4}
 {1,2,3,4,a}    {1,2,3,4,b}  {1,2,3,4,c }     {1,2,3,4,d}
 
 (Elemanları birer birer ekleyerek kümeler oluşturduk.)

 
 {1,2,3,4}'e   (a,b)    (a,c)   (a,d)    ( b,c)     (b,d)     (c,d)
   ikililerini ekleyerek kümeler oluşturalım.

  {1,2,3,4}'e   (a,b,c)    (a,b,d)    (a,c,d)    (b,c,d)
  üçlülerini ekleyerek alt kümeler oluşturalım.

  {a,b,c,d,1,2,3,4}


  Yukarıdaki çözüm uzun yoldur. Alt kümelerin oluşturulmasını anlatmak için yazdım. Daha sonra kısa yolunu yazacağım. Belki sizler de kısa yolunu biliyorsunuz ya da şimdi hatırladınız.

  A={a,b,c,d,1,2,3,4} ise,
  A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en çok  3 rakam bulunur?

''en çok 3 rakam bulunanlar'' dediği için 4 rakam bulunan alt kümeler alınmayacaktır.
 
  {1,2,3,4}    (1 tane)
 
  {1,2,3,4,a}    {1,2,3,4,b}  {1,2,3,4,c }     {1,2,3,4,d}     (4 tane)
 
  
   {1,2,3,4,a,b}       {1,2,3,4,a,c}         {1,2,3,4,a,d}    
   {1,2,3,4,b,c}        {1,2,3,4,b,d}        {1,2,3,4,c,d}         (6 tane)

   {1,2,3,4,a,b,c}   {1,2,3,4,a,b,d}   {1,2,3,4,a,c,d}    {b,c,d,1,2,3,4}  (4tane)

  
   {a,b,c,d,1,2,3,4}  (1 tane)

  
          1     4      6      4      1

           1+4+6+4+1=16  


  Formülünü çıkartabildiniz mi ya da benzer sorular için kısa şeklini bulabildiniz mi?
            

   A={a,b,c,d,e,f} ise
  A kümesinin alt kümelerinin kaçında a,b,c elemanlarından en çok ikisi bulunur?

  ''En çok ikisi''
  denildiğine göre a,b,c'nin üçünün de bulunduğu kümeler alınmayacak.

  Uzun yoldan yapalım, mantık yürütelim ve kısa yolu bulmayı öğrenelim.

  İçinde (a,b,c) elemanlarının üçünün de bulunduğu alt kümeleri bulalım.

   {a,b,c}

  
  {a,b,c}'ye diğer elemanları katarak alt kümeler oluşturalım.

  
  {a,b,c,d}    {a,b,c,e}   {a,b,c,f}

  de,   df   ve ef'yi ekleyerek kümeler oluşturalım.

  {a,b,c,d,e}  {a,b,c,d,f}   {a,b,c,e,f}

  Bütün elemanları alalım: {a,b,c,d,e,f}



  1    3     3    1

  1+3+3+1=8

  Üçünün de bulunduğu (en çok ikisi olmayanlar; üçü de olduğu için)
 alt küme sayısını kısa yoldan bulabilir misiniz?

 6 elemanlı kümenin toplam alt küme sayısını nasıl buluyorduk?
 
  2x2x2x2x2x2=64

      KÜMELER, ALT KÜMELER, PASCAL ÜÇGENİ

  Sıfır elemanlı alt küme düşünelim:
  Boş bir kalemlikteki kalem sayısı:0(sıfır)
  Burada bu kümenin alt kümeleri kendisi ve boş küme olarak tanımlanır.
      1  

  Şimdi kalemliğe 1 kurşun kalem kalem koyalım ve alt kümeleri bulalım:
  Daha önce boştu ve boş olan sıfır elemanlı alt küme sayısı:1
  1 tane elemanı olduğu için 1 elemanlı alt küme sayısı:1

                         1
                     1       1

  Kalemliğe kırmızı kalemi de koyalım ve alt kümelerini bulalım:
  Sıfır elemanlı alt küme sayısı:1
  
  İçinde sadece kurşun kalem olan 1 elemanlı alt küme,
  İçinde sadece kırmızı kalem olan 1 elemanlı alt küme,
  Olarak düşündüğümüzde 2 tane 1 elemanlı alt küme olduğunu görürüz.
  1 elemanlı alt küme sayısı:2

  Kurşun kalemi ve kırmızı kalemi koyarsak,
  2 elemanlı kümeyi elde etmiş oluruz, yani kendisini.
  2 elemanlı alt küme sayısı:1

                    1
               1        1
            1       2      1
      
      
 ( 2 elemanlı kümenin alt kümeleri;
 A={1,2} olsun
 sıfır elemanlı alt küme sayısı:1  {}  (boş küme)
 1 elemanlı alt küme sayısı:2,    {1},{2}
 2 elemanlı alt küme sayısı:1,    {1,2}  (kendisi)  )



 3 elemanlı kümenin alt kümeleri
  B={a,b,c} olsun.

 sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
 1 elemanlı alt küme sayısı:3   {a}, {b},{c}
 2 elemanlı alt küme sayısı:3    {a,b},{a,c},{b,c}
 3 elemanlı alt küme sayısı :1   {a,b,c} (kendisi)
    
                                                  

                                        1
                                    1      1
                                  1     2     1
                                1    3     3    1


   4 elemanlı kümenin alt kümeleri
  A={1,2,3,4} olsun.
  sıfır elemanlı alt küme sayısı:1  {}  (boş küme)
  1 elemanlı alt küme sayısı:4  {1},{2},{3},{4}
  2 elemanlı alt küme sayıs:6  {1,2} {1,3}, {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}
  3 elemanlı alt küme sayısı:4 {1,2,3}, {1,2,4},{ 1,3,4},{2,3,4}
  4 elemanlı alt küme sayısı:1  {1,2,3,4} (kendisi),(kendisi hariç diğer alt kümelere özalt kümeler de denir.)

                                       1
                                  1       1
                                 1     2     1
                               1    3     3    1
                              1  4    6     4    1

  2 elemanlıları bulurken ikişer ikişer kapatıyoruz.
  3 elemanlıları bulurken birer birer kapatıyoruz.
  


 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerini siz bulmayı deneyin.Önce 4 elemanlı kümenin alt kümelerini yazalım.Sonra yeni elemanla ne kadar alt küme oluştuğuna bakalım.
  A={1,2,3,4,5} olsun.


 A={1,2,3,4,5} olarak almıştık.
  4 elemanlı kümenin alt kümelerine ekleme yapalım ve nasıl oluştuğunu da görelim:
  Boş küme yani sıfır elemanlı alt küme sayısı yine 1,
  1 elemanlılara ek olarak {5}
  2 elemanlılara ek olarak {1,5}  {2,5}  {3,5}  {4,5}
  3 elemanlılara ek olarak  {1,2,5}  {1,3,5}  {1,4,5}   {2,3,5}  {2,4,5} {3,4,5}
  4 elemanlılara ek olarak  {1,2,3,5} {1,2,4,5} {1,3,4,5} {2,3,4,5 }
  5 elemanlı 1 tane:{1,2,3,4,5}
  
 Bu kümeleri 4 elemanlı kümenin alt kümelerine ekleyip düzenleyelim.Böylece 5 elemanlı kümenin alt kümeleri ortaya çıkmış olsun.

 
   A={1,2,3,4,5} ise A kümesinin alt kümeleri
 Sıfır elemanlı alt küme sayısı:1  {}    (boş küme)

 1 elemanlı alt küme sayısı:5  {1} {2} {3} {4} {5}

  2 elemanlı alt küme sayısı:10   {1,2} {1,3} {1,4}{1,5}{2,3} {2,4}{2,5}{3,4} {3 ,5} {4,5}

   3 elemanlı alt küme sayısı:10  {1,2,3} {1,2,4} {1,2,5} {1,3,4} {1,3,5}{1,4,5}  {2,3,4} {2,3,5} {2,4,5} {3,4,5}

   4 elemanlı alt küme sayısı: 5  {1,2,3,4} {1,2,3,5}{1,2,4,5} {1,3,4,5}
{2,3,4,5} (her seferinde 1 elemanın kapatıldığına dikkat edelim)

  5 elemanlı alt küme sayısı:1 tane  {1,2,3,4,5}

                                      1  
                                  1       1
                                 1     2     1
                               1    3     3    1
                              1  4    6     4    1
                           1  5   10    10   5    1
      1  
                                  1       1
                                 1     2     1
                               1    3     3    1
                            
                           1  5   10    10   5    1

   Buradaki satırları sırasıyla açıklayalım:
                                            1
   Sıfır  elemanlı kümenin alt küme sayısı boş küme yani kendisidir.
                                       1        1
   1 elemanlı kümenin alt küme sayısı 2'dir.Boş küme ve kendisi
  
                                      1     2     1
    Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
    1 elemanlı alt küme sayısı     :2
    2 elemanlı alt küme sayısı     :1 (kendisi)

                                 1    3     3    1
  Sıfır elemanlı alt küme sayısı   :1
    1 elemanlı alt küme sayısı     :3
    2 elemanlı alt küme sayısı     :3
    3 elemanlı alt küme sayısı      :1  (kendisi)

                                  1  4    6     4    1
    Sıfır elemanlı alt küme sayısı  :1
    1 elemanlı alt küme sayısı     :4
    2 elemanlı alt küme sayısı     :6
    3 elemanlı alt küme sayısı     :4
    4 elemanlı alt küme sayısı     :1   (kendisi)

                               1  5   10    10   5    1
     Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
    1 elemanlı alt küme sayısı     :5
    2 elemanlı alt küme sayısı     :10
    3 elemanlı alt küme sayısı     :10
    4 elemanlı alt küme sayısı     :5
    5  elemanlı alt küme sayısı    :1 (kendisi)



   B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulalım.


  B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulurken
  A={1,2,3,4,5} kümesine {6} elemanının bulunduğu alt kümeleri de ekleyelim.Bu konu pek çok konu için temel bilgi demektir.
 
 
    
  6 elemanlı kümenin alt kümeleri:
  Sıfır elemanlı alt küme:{}

 1 elemanlı alt kümeleri:{1},{2},{3},{4},{5},{6}

 2 elemanlı alt kümeleri:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5}{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}

  3 elemanlı alt kümeleri :{1,2,3}  {1,2,4} {1,2,5} {1,2,6} {1,3,4} {1,3,5} {1,3,6} {1,4,5} {1,4,6}{1,5,6} {2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,4,5},{2,4,6},{2,5,6}{3,4,5},{3,4,6}{3,5,6}{4,5,6}
 
  4 elemanlı kümeleri bulurken her seferinde farklı 2 eleman kapatırız.
  5 elemanlı kümeleri bulurken her seferinde 1 elemanı kapatırız:
  {1,2,3,4,5}    {1,2,3,4,6}   {1,2,3,5,6}   {1,2,4,5,6}   {1,3,4,5,6}      {2,3,4,5,6}     
  6 elemanlı kümenin 6 elemanlı alt kümesi kendisidir.Diğer kümeler ise öz alt kümedir.
 
                                      1  
                                  1       1
                                 1     2     1
                               1    3     3    1
                              1  4    6     4    1
                           1  5   10    10   5    1
                         1  6  15   20   15   6   1

 



 
 
              

[linkler sadece üyelerimize görünmektedir.]

[linkler sadece üyelerimize görünmektedir.] Yukarıdaki şekilde gösterilen sayılar arasında bir ilişki vardır.
Bu ilişkiye göre, soru işareti yerine hangi sayı gelmelidir?


hocalarım sizden rica ediyorum bu sorunun çözümünü yapabilir misiniz. bu tür soruların hiç birini asla çözemiyorum. topluyorum çarpıyorum olmuyor bir alaka kuramadım bu tip sorularda

Hocam sayılar karşılıklı olarak ilişkisi var  12 3 katı=36 ,15 6katı= 90 ,18 9 katı =172 ancak ? işareti olan sayı ile karşısındaki sayının ilişkisini çıkaramadım Bu örüntüye göre gitse karşısının  3kat,6kat,9 kat,12 kat devam etmesi lazım diye düşündüm ama karşıdaki sayı 12ye bölünemiyor..

evet karşıma çıkan sorularda hep bir sayı olayı bozuyor. ales denemelerinde karşıma çıkıyor kafadan 2 soru boş bırakmak zorunda kalıyorum her seferinde

Sevgili arkadaşlar 9. sınıf Matematik dersi için  Eğitimiz Yayınlarını kullanıyorum. Ders ders ayrılmış üniteler, her dersin sonunda ödevler var. Haftasonu ödevleri var. Hiç fotokopi çekmeme gerek kalmıyor. Akıllı tahta dokümanları da mevcut. (PDF, STARBOARD)

Ayrıntılı bilgiye
[linkler sadece üyelerimize görünmektedir.]

adresinden ulaşabilirsiniz.
iyi çalışmalar

Öğretmenlerim,sizden bir ricam var matematik denklem-eşitsizlik ve mutlak değer sorularından 50 şer tane lazım diğer derslerim çalışmam lazım zaman kaybı yaşamamak için istiyorum lütfen 50 şer tan soru paylaşır mısınız çok sağ olun.

Öğretmenlerim,sizden bir ricam var matematik denklem-eşitsizlik ve mutlak değer sorularından 50 şer tane lazım diğer derslerim çalışmam lazım zaman kaybı yaşamamak için istiyorum lütfen 50 şer tan soru paylaşır mısınız çok sağ olun.

Buradaki çalışmaları indirip çalışabilirsiniz.

[linkler sadece üyelerimize görünmektedir.]

Çok sağolun efenim..

Emeklerinizden dolayı teşekkür ederim..