Oran Ve Orantı

  a/2=b/3=c/5   ise   a+2b nin c’ye bölümü kaçtır?
  Burada orantıyı incelersek 3 tane bilinmeyen olduğunu görürüz.

  1 sayısını kullanarak bir orantı örüntüsü elde edelim:
  1=1/1=2/2=3/3=4/4=5/5=…
  Bu örüntü sonsuza kadar devam etmektedir.

  Buradan a=2,b=3 ve c=5 sonucuna ulaşabiliriz.Farklı sonuçlar bulsak bile sadeleştirdiğimizde yukarıdaki sonuçlara ulaşırız.

  Değerler yerine konduğunda 2+(2.3)/5=?
  İşlemin sonucu (2+6)/5=8/5 olacaktır.

  Ondalık olarak 1,6...


  Soru: a/b=2/5  ve    a+b=28  ise  b-a kaçtır?

  İki tane bilinmeyen var.
  a sayısı, 2 ile doğru orantılıdır.
  b sayısı, 5 ile doğru orantılıdır.

  Buradan (a+b) toplamının 7’nin katı olduğunu görebiliyoruz.
  28/7=4
 
  4 tane 2,8 eder.    a=8
  4 tane 5,20 eder.  b=20

  b-a=20-8=12

mesela 0,005

  a/b=2/3    b/c=4/5   ise   a/c kaçtır?

  a/b=2/3   b/c=4/5  
  Burada iki tane ayrı orantı verilmiş.

  İki orantıda da b’ler ortak.
  İçler-dışlar çarpımı yaparsak;
  a/b=2/3   orantısından 3a=2b  elde ederiz.
  b/c=4/5   orantısından 5b=4c  elde ederiz.

  Bu orantılarda payda eşitler gibi 2b’nin olduğu orantıyı 5 ile;5b’nin olduğu orantıyı ise 2 ile genişletirsek;
  15a=10b  ve 10b=8c sonuçlarını elde ederiz.
  15a ve 8c ifedelerinin her ikisi de aynı ifadeye(10b)eşit olduğundan

  15a=8c bulunur.
  Buradan a/c ifadesi 8/15 olarak bulunur.

   Konuyla ilgili soruların daha kolay çözülebilmesi için
  -birim kesrin
  -basit,bileşik ve tam sayılıkesirlerin(sorulan soruda gerekirse,bileşik kesri tam sayılı kesre,tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmenin)
  -asal sayıların,
  -bölünebilme kurallarının,
  -kesirlerde genişletmenin,
  -kesirlerde sadeleştirmenin,
  -doğru ve ters orantının,
  -orantı sabitinin iyi bilinmesi gerekir.
  Ayrıca yukarıdaki yazdıklarımdan eksik bıraktığım varsa okuyan arkadaşlar düşünceleri ile katkıda bulunabilir,konunun daha kolay kavranmasını sağlayabiliriz.

  Aşağıya daha önce hazırlamış olduğum asal sayılar ve 2,3,4,5,6 ve 9 ile bölünebilme ile ilgili dısyamın linkini veriyorum.

  http://www.egitimhane.com/asal-sayilar-carpanlarina-ayirma-bolunebilme-d22577.html

  Bu linkteki dosyaya ulaştıktan sonra,
  'Asal Sayılar Çarpanlarına Ayırma Bölünebilme Benzer Dosyalar' başlığının altındaki diğer dosyalara da ulşabilir,konuyu öğrenebileceğiniz dökümanlara ulaşmış olursunuz.

  Allah zihin açıklığı versin.
  Selam ve sevgilerimle.

  Asal sayıların bir kısmıyla işlem yapalım:
  2,3,5,7,11,13,17,19,...
  
  Şimdi birim kesirler yazıp asal sayılarla bu kesirleri genişletelim.
  
  Şimdi yazacağımız kesirlerin payı 1 olacak:
  1/2,   1/3,  1 /4,  1/5,   1/6,   1/7,  1/8,   1/9,    1/10,...
  Görüldüğü gibi payı 1 olan kesirler...
  Bunları asal sayılarla genişletelim.

  Payı ve paydayı aynı sayı ile çarpma işlemine kesrin genişletilmesi,
payı ve paydayı aynı sayıya bölme işlemine ise kesrin sadeleştirilmesi diyoruz.

  Gireceğiniz sınavlardaki soruların cevap şıklarında kesrin en sade hâlinin yer alcağını belirterek bu konunun asla ihmal edilmeyip iyi bir şekilde öğrenilmesini öneriyorum.
  

   Aşağıya daha önce hazırlamış olduğum asal sayılar ve 2,3,4,5,6 ve 9 ile bölünebilme ile ilgili dısyamın linkini veriyorum.

[linkler sadece üyelerimize görünmektedir.]

  Takip eden öğrencilerimiz konuya nasıl çalışmaları gerektiği ile ilgili sorularını,sorunlarını yazabilirler.
   Ayrıca gözden kaçırdığım şeyler varsa lütfen katılıp yazın,konunun paylaşılmasına katkıda bulunun.

1/2,kesrini 2 sayısıyla genişletelim.
 Elimizde 1/2 elma var.Yani 2'ye bölünmüş ve 1 parçası alınmış.
  Bunu 2 sayısı ile genişletmek demek yarım elmayı eşit olacak şekilde 2'ye bölmek demektir.
  1/2=1x2/2x2
        =2/4
  Kesrin hem payını(1) hem de paydasını(2),2 sayısıyla çarptık.
  Kesrin değerinin değişmediğini,4 parçadan 2'si tanımından anlayabiliriz.
  Şimdi de 1/2 kesrini 3,5,7,11 sayılarıyla genişletelim:
  1/2=1x3/2x3
          3/6

  1/2=1x5/2x5
       =5/10

  1/2=1x7/2x7
       =7/14

  Kesirleri incelediğimizde paydanın payın 2 katı olduğunu görürüz.
  Diğer bir ifade ile 'pay paydanın yarısıdır.'
  Kesirlerde genişletme yaptığımızda kesrin değeri değişmez.
 
  Şimdi elinize kağıt,kalem alıp bunları tekrarlayın,daha sonra da işlemin tersini yapıp sadeleştirin.Göreceksiniz işiniz çok kolay olacak.
  Allah,zihin açıklığı versin.

  Kesirlerde genişletme ile ilgili örnekler vermeye çalıştım.Genişletilmiş olan kesirlerin değeri değişir mi?Değişip değişmediğini orantı yardımıyla bulabiliriz.

  1/2=2/4  orantısına bakalım.İçler dışlar çarpmı yaparsak;
  1x4=2x2
   4=4

   O halde yaptığımız genişletme doğrudur.Aynı zamanda genişletme yoluyla orantı da oluşturabiliyoruz:
  
    1/2 =2/4=5/10=7/14
    Bu kesirlerden herhangi ikisini ya da üçünü alarak orantı oluşturabiliriz.Bu kesirlerin en sade hali 1/2 kesridir.Sınavlarda diğer sonuçları bulduğumuzda sadeleştirmemiz gerekir.Çünkü en sade hali  şıklara konmuştur.

  Sanırım kesirlerde genişletme yeterince anlaşılmıştır.Konuyu pekiştirmek için bir elmayı 2'ye bölün;2 parçadan 1'i, 2'de 1'dir. Ya da 1 bölü 2'dir.(1 elma 2'ye bölündü değil mi?)Daha sonra yarım elmaları tekrar 2'ye bölerek ortaya çıkan kesirleri yazabiliriz.Bunu yaptığımızda kesri 2 sayısıyla genişletmiş olduk.Elmanın çeyreğini de 2 eş parçaya bölerek,1/8 kesrini elde etmiş oluruz.

  Bunu yapmamızın nedeni elmayı yiyerek çıkarma yapmak;ayrıca görme,koklama,tat alma ve dokunma duyularından yararlanmaktır.Sesini de yerken duyabiliriz.Böylece beynimizdeki optik okuyucuya beş duyu vasıtasıyla bilgi göndermiş oluruz.

  Bunları yapmak,başlangıçta bize sıkıcı gelebilir.Zaman kaybettirdiğini düşünebiliriz.Ancak unutmayalım ki bilgi günlük hayatta kullanmak içindir.Kalıcı bilgi ise birden fazla duyu organının kullanılmasıyla daha kolay gerçekleşir.

   Sınavlarda bir kesrin en sade halinin şıklarda yer alması sadeleştirme konusunun önemini artırmaktadır.
   Şimdi de kesirlerde sadeleştirme yapalım.
  
   Yine kolaylık olması açısından genişletmiş olduğumuz kesirleri sadeleştireceğiz.Böylece hem yaptığımız işlemin doğruluğunu kontrol etmiş olacağız hem de kendi kendimize soru üretip cevaplandırmış olacağız.

   2/4 kesrini 1/2 kesrini 2 sayısıyla genişleterek elde etmiştik.Şimdi yaptığımız işlemin tersini yapalım:Çarpmanın tersi bölmedir.Geldiğimiz yerin tersine gideceğimiz için başlangıç noktasına olan mesafe aynı kalacaktır.Yani işlem bölme ve 2'ye böleceğiz.Kesrin hem payını hem de paydasını aynı sayıya böleceğiz.Bu işleme sadeleştirme diyoruz.Bunun nedeni ise hem payın hem de paydanın 2'ye bölünebilmesidir.

  
   2/4=2:2/4:2   2'nin 2'ye bölümü(2:2) 1 eder.Bunu paya yazarız.
   4:2=2 olduğundan bunu da paydaya yazarız.Sonuç:1/2
   Başlangıç noktasına dönmüş olduk.
        
   3/6 kesrini sadeleştirelim.
   1/2 kesrinin hem payını hem de paydasını 3 ile çarparak genişletmiştik.Çarpmanın tersi bölmedir,böleceğiz.
  Kaça böleceğiz?Başlangıç noktasına giden yol,geldiğimiz yoldur:3'e böleceğiz payı ve paydayı.
   3/6=3:3/6:3            3:3=1  ve 6:3=2 olduğundan
   sonuç 1/2'dir.

   5/10 kesri sadeleştirilebilir mi?
   Hem pay,hem de payda 5'in katıdır,5'e bölünerek sadeleştirilebilir.
   5/10=5:5/10:5    5:5=1  ve 10:=2 olduğundan
   sonuç, 1/2'dir.
  
   7/14 kesrinde hem pay hem de payda 7'nin katıdır.7 ile sadeleştirelim.
   7/14=7:7/14:7=1/2

  Oran ve orantı,kesirler konularının iyi anlaşılması için sayı doğrusunu kullanmalıyız.
  Gerekirse kesrin değeri hakkında tahmin yapalım ve değerini payı paydaya bölerek bulalım.Eğer işlem uzunsa hesap makinesi kullanabilirsiniz.Kısa işlemleri de hesap makinesi ile de kontrol edebilirsiniz.
  Kesirlerin değerini bulduktan sonra sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz.Eğer payda 2 ise iki tam sayı arasını 2 eş parçaya,3 ise 3 eş parçaya,4 ise 4 eş parçaya,... böleriz ve işimizi kolaylaştırırız.Paydaları eşitleyeceksek önce payda eşitleme işlemini yapalım.

   1/2, 2/2 , 3/2, 4/2, 5/2,... kesirlerini sayı doğrusu üzerinde gösterip değerlerini öğrenelim.

  1/2 kesrinde 2 eş parçadan biri alınmış.1'i  2'ye böldümüzde tam sayıya ulaşamayacağımız için 1/2 kesri 1 tam sayısından küçüktür.

  Sıfır ile 1 arasını 2 eş parçaya ayıralım ve çizginin olduğu yere 1/2 yazalım.
  2/2'nin yeri 2 paraçaya bölünmüş ve 2'si de alınmış, tama(bütüne) eşittir.
  2/2: 2'yi böl 2'ye,2'nin içinde 2,1 tane vardır.1 bütün
  2/2 kesri 1 tam sayısına karşılık gelmektedir.

  3/2: 3'ü böl 2'ye 1 tane tam var,1 tane de yarım var. tam sayısı ile 2 tam sayısının arasındaki uzaklığı 2 eş parçaya bölüyoruz ;3/2 orta noktadadır.

  Bütünler 2 eş parçaya bölünmüş.3 tane paraça alınmış.Yani 3 tane 1/2
sayı doğrusunda sayalım:1/2,2/2,3/2
  
  Elinize kağıt kalem alıp işlemleri yaparsanız daha iyi anlarsınız.Allah zihin açıklığı versin,cümlemize,amin.

  4/2, 5/2, 6/2,  8/2,  11/2  kesirlerini de siz sayı doğrusu üzerinde gösterebilirsiniz.Başarılar dilerim.

  1/3 kesrini sayı doğrusu üzerinde gösterelim. 3 eş parçadan 1'i
  Sıfır ile 1 arasını 3 eş parçaya bölelim.İlk çizgi 1/3 ,ikinci çizgi 2/3'tür.
  3/3 kesri 1 tam sayısına eşittir.

  4/3 kesri,1 tam 1/3'e eşittir.1'den büyük,2'den küçüktür.
  5/3 kesri,1 tam 2/3'e eşittir.1'den büyük,2'den küçüktür.
 
  6/3 ise, 2 tam sayısına eşittir.6'yı böl 3'e eşittir 2.Bütünler 3 eş parçaya ayrılmış.6 parça alınmış.

1/2, 1/3,  2/3, 1/4, 3/4, 1/5,  2/5, 3/5,4/5,1/6,5/6, 1/7,

2/7  ,3/7, 4/7 ,5/7,  6/7, 1/8 ,3/8 ,5/8 ,7/8 ,1/9 ,2/9,4/9

5/9, 7/9, 8/9, 1/10, 3/10, 7/10, 9/10
 
  kesirlerini sırasıyla 2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,16,18,21,24 sayılarıyla genişletelim.
  Sonra aynı sayılarla sadeleştirelim.Zaman alacak gibi görünse de her gün azar azar yaparak bir aya da yayabiliriz.